] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =  

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 Uma integral de superfície é uma generalização das integrais múltiplas sobre uma superfície.^[1][2][3] Dada uma superfície S, pode-se integrar sobre ela um campo escalar ou um campo vetorial. Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias, tais como em problemas envolvendo fluxo de fluido e de calor, eletricidade, magnetismo, massa e centro de gravidade.^[4] Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície.^[2] Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vetorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo, indicado por pela letra grega maiúscula Φ.^[3]

Definição

Seja ${\displaystyle �:{\mathbb{�}}^3\to \mathbb{�}}$, ${\displaystyle �=�(�,�,�)}$, uma função definida em todos os pontos de uma superfície ${\displaystyle �}$. A integral de superfície de ${\displaystyle �}$ sobre ${\displaystyle �}$ é definida por^[2]:

$${\displaystyle \int {\int }_{�}���}$$

onde, ${\displaystyle ��}$ é o elemento infinitesimal de área sobre a superfície.

Se ${\displaystyle �}$ é uma superfície orientável, então definimos a integral de superfície de um campo vetorial ${\displaystyle �}$ sobre ${\displaystyle �}$ por^[3]:

$${\displaystyle \int {\int }_{�}\mathbf{�}\cdot \mathbf{�}��}$$

onde, ${\displaystyle \mathbf{�}}$ é o campo normal escolhido na orientação da superfície. O integrando na forma de produto escalar evidencia que somente as componentes do campo perpendiculares à superfície ${\displaystyle �}$ contribuirão no cálculo do fluxo.^[4]