INTEGRAL GRACELI DE SUPERFÍCIES EM DINÂMICAS E FLUXOS.

$\int \int _{S}gd\sigma$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$\int \int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} d\sigma$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \;\;dV=\ \!\!\!\iint \limits _{S}\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \ dS$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

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Uma integral de superfície é uma generalização das integrais múltiplas sobre uma superfície.[1][2][3] Dada uma superfície S, pode-se integrar sobre ela um campo escalar ou um campo vetorial. Aplicações de integrais de superfícies aparecem em vários ramos da ciência e das engenharias, tais como em problemas envolvendo fluxo de fluido e de calor, eletricidade, magnetismo, massa e centro de gravidade.[4] Por exemplo, ao integrarmos uma função densidade de massa sobre uma superfície, obteremos a massa aplicada sobre a superfície.[2] Em uma superfície orientável, a integral de superfície do produto interno de um campo vetorial pelo campo normal à superfície fornece o fluxo desse campo, indicado por pela letra grega maiúscula Φ.[3]

Definição

Seja $g: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ , $g = g(x,y,z)$ , uma função definida em todos os pontos de uma superfície $S$ . A integral de superfície de $g$ sobre $S$ é definida por[2]:

\int \int _{S}gd\sigma

onde, $d\sigma$ é o elemento infinitesimal de área sobre a superfície.

Se $S$ é uma superfície orientável, então definimos a integral de superfície de um campo vetorial $F$ sobre $S$ por[3]:

\int \int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} d\sigma

onde, $\mathbf {n}$ é o campo normal escolhido na orientação da superfície. O integrando na forma de produto escalar evidencia que somente as componentes do campo perpendiculares à superfície $S$ contribuirão no cálculo do fluxo.[4]

Supondo que ${\textstyle V}$ é um subconjunto de ${\textstyle R^{n}}$ (no caso de $n$ = 3, $V$ representa um volume 3D no espaço cartesiano), que é um espaço compacto e é uma função definida por partes nas suas arestas formadoras $S$ (também indicada com $\partial V=S$ ). Se ${\textstyle \mathbf {F} }$ é um campo vetorial contínuo e diferenciável definido na vizinhança de $V$ , então, pelo Teorema de Gauss:

$\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \;\;dV=\!\!\!\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ dS=\!\!\!\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ dS$

Em que

$\iiint _{V}$ é uma integral tripla no volume $\mathbf {V}$
$\nabla \cdot {\mathbf {F}}$ é o divergente do campo $\mathbf {F}$
$\partial \mathbf {V} =\mathbf {S}$ é a borda ou superfície delimitadora de $\mathbf {V}$
$\mathbf {n}$ é o vetor normal unitário exterior
$\iint \limits _{S}$ é a integral de superfície sobre $\mathbf {S}$

Na prática, isso significa que, dado um campo vetorial $\mathbf{A}$ de classe $C^{1}(D)\,$ que contém uma superfície fechada $\mathbf {S}$ delimitando um volume $\mathbf {V}$ em $\mathbf {D}$ aberto, orientada pela normal unitária exterior, o fluxo sobre a superfície $S$ é numericamente igual à integral do divergente de $\mathbf{A}$ no interior de $\mathbf {V}$

$\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \;\;dV=\ \!\!\!\iint \limits _{S}\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \ dS$

É um resultado importante por estabelecer uma relação entre divergência de um campo vetorial com o valor da integral de superfície do fluxo definido pelo campo. É fundamental no estudo matemático da Física, em particular eletrostática e dinâmica dos fluidos.